[칼만필터] Chap 7. 시스템모델

 Chap 7. 시스템모델

 

중요한 작업은 시스템을 수학적으로 모델링하여 "시스템 모델"을 유도하는 것 

 

7.1 시스템모델

 

칼만필터는 선형상태모델에 적용된다. 

 

State space model

 

\(x_{k+1} = A x_{k} + w_{k}\)

\(z_{k} = H x_{k} + v_{k} \)

 

\(x_{k}\) : 상태변수( n x 1) 열벡터

\(z_{k}\) : 측정값, (m x 1) 열벡터

\(A\) : 시스템 행렬(n x n) , 시스템의 운동방정식

\(H\) : 출력 행렬(m x n), 측정값과 상태변수의 관계

\(w_{k}\) : 시스템 잡음 (n x 1) 열벡터

\(v_{k}\) : 측정 잡음(m x 1) 열벡터

 

칼만필터에서는 잡음이 중요한 역할을 하는데 모든 잡음을 White noise로 가정함.

시스템잡음은 시스템에 유입되어 상태변수에 영향을 주는 잡음.

측정잡음은 센서에서 유입되는 잡음.

 

 

7.2 잡음의 공분산

 

잡음은 통계적인 추정만 가능하기 때문에 통계학을 이용함.

칼만필터의 경우 잡음의 평균이 0인 정규분포를 따른다고 가정하므로 분산만 알면된다. 

 

\(Q \) : 시스템 잡음 \(w_{k}\) 의 공분산행렬(n x n) 대각행렬

\(R \) : 측정 잡음\(v_{k}\)의 공분산행렬(m x m) 대각행렬

 

잡음 : \(w_{1}, w_{2}, \dots \)

각 잡음의 분산 : \(\sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \dots \)

시스템잡음과 측정잡음 두개의 공분산 행렬은 아래와 동일한 방식으로 구성된다.

 

\[ Q = \begin{bmatrix} \sigma_{1}^{2}&0 & \dots & 0 \\ 0&\sigma_{2}^{2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \sigma_{n}^{2} \end{bmatrix}\]

 

Q, R 은 경험을 바탕으로 보정하면서 적절한 값을 찾아야한다.

 

Q,R을 잡기위한 기준

 

 

 

R

 

위 식에서 측정잡음 R이 작아지면 칼만이득은 작아진다. 

칼만이득이 작아지면 추정값계산에 측정값이 반영되는 비율이 작아지고, 예측값 반영율이 높아진다. 

 

=> 측정값의 영향을 덜 받는 완만한 추정값을 얻고싶다면 행렬 R을 키운다. 

 

 

Q

 

위 식에서 시스템잡음행렬 Q가 커지면 오차공분산 예측값도 커진다. 

오차공분산 예측값이 커지면 칼만이득이 커지고, 측정값이 더 많이 반영된다. 

 

=> 측정값의 영향을 덜 받는 완만한 추정값을 얻고싶다면 행렬 Q를 줄인다.