[칼만필터] Chap.5 추정과정

Chap.5 추정과정

5.1 추정값계산

 

 

H를 I(단위행렬)로 가정할 경우 칼만필터의 추정값 계산식은 Lowpass 필터의 식과 매우 유사하다.예측값과 측정값에 적절한 가중치를 곱한 다음, 두값을 더해서 최종 추정값을 계산한다. 

직전 추정값 대신 예측값을 사용한다는 점만 다를 뿐, 가중치를 부여하는 방법이 동일함. 

 

5.2 변하는 가중치

H가 단위행렬이라는 가정이 없더라도, 칼만필터가 추정값을 계산하는 방식은 Lowpass 필터와 매우 비슷하다는 것은 유효하다

 \(\hat{x}_{k}= \hat{x}_{k}^{-}+ K_{k}(z_{k} - H\hat{x}_{k}^{-}) \)

칼만필터의 경우 재귀필터이므로 예측값과 새로운 측정값이 필요하다. 

H 는 시스템 모델이며, 칼만 필터 설계 전에 미리 확정된다. 

\(K_{k}\) 는 칼만 이득(Kalman gain)이며, 새로운 추정값을 계산하는데 가중치로서 사용된다. 

\(K_k = P_{k}^{-} H^{T}(H P_{k}^{-}H^{T}+ R)^{-1}\)

Lowpass 필터시에는 \(\alpha\) 가 상수 였지만, 칼만필터는 알고리즘을 반복하면서 \(K_{k}\)를 새로 계산한다. (k도 횟수를 나타는 것)

 

5.3 오차 공분산 계산 

\(P_{k}= P_{k}^{-} - K_{k} H P_{k}^{-} \)

추정값이 정확한지 아닌지를 오차 공분산으로 판단

오차공분산은 칼만필터의 추정값이 실제 참값과 얼마나 차이가 나는지를 보여주는 척도

\(P_{k}\) 가 크면 추정오차가 크고, 작으면 추정오차가 작다. 

 

오차 공분산의 의미?

\(x_{k} \sim N(\hat{x}_{k}, P_{k})\)

변수 \(x_{k}\) , 평균 \(\hat{x}_{k}\), 공분산\(P_{k}\)인 정규분포(normal distribution)을 따른다. 변수 \(x_{k}\)가 가질 수 있는 확률을 그려보면 종모양의 분포가 된다.

평균에서의 확률이 가장 높으며, 종모양의 폭은 공분산\(P_{k}\)이 결정한다.

정규분포 위키

종모양의 폭이 좁으면 변수가 가질 수 있는 값들은 평균에 모여 있다는 뜻이며, 넓게되면 변수가 될 수 있는 범위의 확률이 높아져 추정오차가 커지게된다.  

\(P_{k} = E [ (x_{k} - \hat{x}_{k})(x_{k}-\hat{x}_{k})^{T}]\)

위 식은 한글로 표현하면

공분산 = 평균{ (참값 - 추정값)^2 } 

오차공분산은 추정오차의 제곱을 평균한 값을 의미한다. 

(T인 것은 벡터식에서 Transpose가 되어야하므로 추가된 것으로 생각됨)

즉, 오차공분산의 크기와 추정오차가 비례관례이며, 추정값의 정확도를 나타내는 지표라고 볼 수 있겠다.