Chap.5 추정과정
5.1 추정값계산
5.2 변하는 가중치
H가 단위행렬이라는 가정이 없더라도, 칼만필터가 추정값을 계산하는 방식은 Lowpass 필터와 매우 비슷하다는 것은 유효하다
\(\hat{x}_{k}= \hat{x}_{k}^{-}+ K_{k}(z_{k} - H\hat{x}_{k}^{-}) \)
칼만필터의 경우 재귀필터이므로 예측값과 새로운 측정값이 필요하다.
H 는 시스템 모델이며, 칼만 필터 설계 전에 미리 확정된다.
\(K_{k}\) 는 칼만 이득(Kalman gain)이며, 새로운 추정값을 계산하는데 가중치로서 사용된다.
\(K_k = P_{k}^{-} H^{T}(H P_{k}^{-}H^{T}+ R)^{-1}\)
Lowpass 필터시에는 \(\alpha\) 가 상수 였지만, 칼만필터는 알고리즘을 반복하면서 \(K_{k}\)를 새로 계산한다. (k도 횟수를 나타는 것)
5.3 오차 공분산 계산
\(P_{k}= P_{k}^{-} - K_{k} H P_{k}^{-} \)
추정값이 정확한지 아닌지를 오차 공분산으로 판단
오차공분산은 칼만필터의 추정값이 실제 참값과 얼마나 차이가 나는지를 보여주는 척도
\(P_{k}\) 가 크면 추정오차가 크고, 작으면 추정오차가 작다.
오차 공분산의 의미?
\(x_{k} \sim N(\hat{x}_{k}, P_{k})\)
변수 \(x_{k}\) , 평균 \(\hat{x}_{k}\), 공분산\(P_{k}\)인 정규분포(normal distribution)을 따른다. 변수 \(x_{k}\)가 가질 수 있는 확률을 그려보면 종모양의 분포가 된다.
평균에서의 확률이 가장 높으며, 종모양의 폭은 공분산\(P_{k}\)이 결정한다.
종모양의 폭이 좁으면 변수가 가질 수 있는 값들은 평균에 모여 있다는 뜻이며, 넓게되면 변수가 될 수 있는 범위의 확률이 높아져 추정오차가 커지게된다.
\(P_{k} = E [ (x_{k} - \hat{x}_{k})(x_{k}-\hat{x}_{k})^{T}]\)
위 식은 한글로 표현하면
공분산 = 평균{ (참값 - 추정값)^2 }
오차공분산은 추정오차의 제곱을 평균한 값을 의미한다.
(T인 것은 벡터식에서 Transpose가 되어야하므로 추가된 것으로 생각됨)
즉, 오차공분산의 크기와 추정오차가 비례관례이며, 추정값의 정확도를 나타내는 지표라고 볼 수 있겠다.
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