[칼만필터] Chap.4 칼만필터(Kalman filter)

"칼만필터는 어렵지않아" 개인공부

 

 

Chap.4 칼만필터(Kalman filter)

1960년대에 나온 이론이기때문에 충분히 검증되어있다. 

실무적으로 필요한 내용만을 위한 책이다. 

 

칼만 필터와 lowpass 필터의 개념은 서로 연결되어있다. 

칼만필터 변수

용도	변수
외부입력	\(z_{k}\)
최종출력	\(\hat{x}_{k} \)
시스템모델	\(A, H, Q, R \)
내부계산용	\(\hat{x}_{k}^{-}, P_{k}^{-}, P_{k}, K_{k} \)

사용자는 오직 시스템모델의 4개의 변수만을 조정할 수 있다. 

이 모델 변수를 어떻게 설계하느냐에 따라 성능이 결정된다. 

 

 

 

칼만필터 알고리즘 계산

 

0단계: 초기값 설정

\(\hat {x}_0, P_0 \) 

 

 

1단계: 추정값과 오차 공분산 예측

\(\hat{x}_{k}^{-}=A \hat{x}_{k-1} \)

\(\hat{P}_{k}^{-}=A P_{k-1} A^{T} + Q \)

 

-는 예측값이며 시스템 모델과 관련되어있음.

\(\hat{x}_{k}^{-}, \hat{P}_{k}^{-} \) 를 계산함

 

2단계: 칼만 이득 계산

\(K_k = P_{k}^{-} H^{T}(H P_{k}^{-}H^{T}+ R)^{-1}\)

 

\(H\), \(R\): 칼만필터 알고리즘 밖에서 미리 결정됨

 

 

3단계: 추정값 계산

\(\hat{x}_{k}= \hat{x}_{k}^{-}+ K_{k}(z_{k} - H\hat{x}_{k}^{-}) \)

 

측정값: \(z_{k}\)

추정값: \(\hat{x}_{k} \)

 

입력된 측정값으로 추정값을 계산함.

이 단계의 계산식은 Lowpass필터와 관련있다. 

 

 

4단계: 오차 공분산 계산

\(P_{k}= P_{k}^{-} - K_{k} H P_{k}^{-} \)

 

추정값이 얼마나 정확한지를 알려주는 척도. 

오차 공분산을 검토해서 추정값을 믿고쓸지, 버릴지 판단한다.

 

 

위의 칼만필터 알고리즘을 의미적으로 구분하면 2가지가 된다.

 

예측과정

1단계 해당

입력값: 직전 추정값(\(\hat{x}_{k-1}\))과 오차 공분산(\(P_{k-1}\))

출력값: 예측값(\(\hat{x}_{k}^{-}, P_{k} \))

시스템 모델변수(A, Q) 사용

 

추정과정

2,3,4 단계

입력값: 예측과정에서 얻어진 예측값(\(\hat{x}_{k}^{-}, P_{k}^{-} \)), 측정값(\(z_{k}\))을 사용.

출력값: 추정값(\(\hat{x}_{k}\))과 오차공분산(\(P_{k}\)). 

시스템 모델변수 (H, R) 사용

 

칼만필터 알고리즘의 큰 그림

 

1. 시스템 모델(A, Q)을 기초로 다음 시각에 상태와 오차공분산이 어떤 값이 될지를 예측

\[(\hat{x}_{k}^{-}, P_{k}^{-} )\]

 

2. 측정값과 예측값의 차이를 보정해서 새로운 추정값을 계산.

\[(\hat{x}_{k}, P_{k} )\]

 

3. 1~ 2번 반복