[칼만필터] 부록. 베이즈 정리

칼만필터는 어렵지않아.

부록 .베이즈 정리

 

베이즈 정리(Bayes' rule)는 칼만필터와 연관성이 높다. 베이즈 정리를 통해 칼만필터를 유도할 수 있기 때문이다. 

 

의사: 아픈곳?

환자: 기침이 남

=> 의사가 취할 수 있는 전략은 여러 질병중에서 가장 확률이 높은 쪽으로 진단하는 것이 가장 합리적이다.

 

기침 -> \( \begin{bmatrix} P(폐렴 | 기침) \\ P(결핵 | 기침) \\ P(감기 | 기침) \end{bmatrix} \) -> MAX -> 진단 병명

 

\(P(XX | 기침)\) = 기침하는 사람들 중에서 XX병에 걸린 사람의 비율

 

여러 원인중에서 가장 확률이 높은 쪽으로 최종 결정을 내리는 방식을 베이즈 추론(Bayesian inference)라고 한다. 

추론 = (결정 , 진단, 판단) = 가설을 세우고, 가설 검증

\(P(XX | 기침) = \frac{P(XX \cap 기침)} { P(기침)} \)

 

| 의 좌우를 바꿨을때, 조건부확률

\(P(기침 | XX) = \frac{P(기침 \cap XX)} { P(XX)} \)

 

\(P(XX \cap 기침)\) 이 공통으로 들어있기 때문에 교환법칙으로 식을 합친다. 

 

\(P(XX | 기침) P(기침) = P(기침 | XX) P(XX) \)

\(P(XX | 기침) = \frac{P( 기침 | XX) P(XX)} { P(기침)} \)

베이즈추론에서 필요한 것은 각 질병의 정확한 확률값이 아니라 상대적인 크기가 중요하다.

 

위의 식에서 다음 관계가 성립한다.  (베이즈 정리)

\(P(XX | 기침) \propto P(기침 | XX) P(XX) \)

 

기침 -> \( \begin{bmatrix} P(기침 | 감기) P(감기) \\ P(기침 | 폐렴) P(폐렴) \\ P(기침 | 결핵) P(결핵) \end{bmatrix} \) -> MAX -> 진단 병명

 

 

예제) 감기, 폐암의 확률 구하기

P( 기침 | XX) : XX로 진단 받은 사람들의 진료기록을 정리하여 통계를 낸 값

P(기침 | 감기) = 0.5 (감기 걸린 사람중에 기침할 확률)

P(기침 | 폐암) = 0.8 (폐암 걸린 사람중에 기침할 확률)

 

통계조사를 통해서 P(감기) = 0.4, P(폐암) = 0.1

 

\(P(감기 | 기침) \propto P(기침 | 감기) P(감기) = 0.5 * 0.4 = 0.2 \)

\(P(폐암 | 기침) \propto P(기침 | 폐암) P(폐암) = 0.8 * 0.1 = 0.08 \)

기침일때는 감기일 확률이 높다.

 

\(P(폐암 | 기침) \propto P(기침 | 폐암) P(폐암) \)

사후확률( a posteriori probability) = P(폐암 | 기침)

우도 ( likelihood) =  P(기침 | 폐암)

사전 확률 (a prior probability)  = P(폐암)

 

베이즈추론은 결국 사후확률이 최대인 xx를 찾는 문제이다. 

베이즈추론 = Maximum a posteriori = MAP 문제라고 부름.

 

통계는 쉽게 구할 수 없기 때문에 자료를 구하는 것이 불가능 한 경우에 대해서도 계산이 가능하다. 외부로 들어난 증상에 기반해서 숨겨진 가설을 추론할 수 있다. 

 

\( P(x_k | z_k) \)

칼만필터에서 추정이란 확률이 가장 큰 상태변수를 알아내는 것과 같다. 

현재의 측정값(\(z_k\)이 주어졌을때, 칼만필터로 계산한 추정값에서 위의 확률이 최대값이 되어야한다. 

위의 확률을 직접 구할 수 없기 때문에 베이즈 정리를 사용하는 것이다. 

 

즉, \(P(x_k | z_k) \propto P(z_k | x_k) P(x_k) \)로 변환되고, 

이는 오른쪽의 2개의 확률을 구하는 문제로 바뀌게 된다. 이 2개의 확률들은 시스템모델에서 구해질 수 있기 때문에 원하는 최종 확률을 계산할 수 있게 된다. 

또한, 이 식을 통해 칼만필터를 유도할 수도 있다. 

 

 

이상... 칼만필터는 어렵지않아 1회독을 마친다..